24
Tono Revista Técnic
a
de l
a
Empres
a
de Telecomunic
a
ciones de Cub
a
S.A.
I
n
t
r
o
d
u
cc
i
ó
n
U
na de la
s
mayore
s
fuente
s
de error e
s
el efecto de la
s
onda
s
de inter-
ferencia cau
s
adas por la propagación
sición del campo de onda
s
en lo
s
componentes que lo con
s
tituyen y
determinar el ángulo de arribo de cada
frente de onda por
s
eparado, mediante
el empleo del e
s
pectro angular a tra-
vé
s
de lo
s
llamado
s
Algoritmo
s
de
Súper Re
s
olución (A
S
R).
En la actualidad, el término
s
úper
re
s
olución o alta re
s
olución e
s
am-
pliamente empleado en lugar de lo
s
términos “análi
s
is del frente de onda”
y “resolución de multicomponente
s
del campo de onda
s
”. Lo
s
A
S
R
s
on
técnicas de proce
s
amiento de
s
eña-
le
s
que pueden
s
er aplicada
s
en dife-
rente
s
campos como:radioa
s
tronomía,
radar,
s
onar, sismología, comunica-
cione
s
, radiogoniometría, etc. [1,2].
Existen algoritmo
s
que
s
on má
s
eficiente
s
en un campo que en otro
s
,
en dependencia del objetivo para el
cual fueron diseñados, o por las exigencias que debe cumplir pa
r
a su em-
pleo.
E
s
te trabajo tiene el objetivo de analizar las características fundamen-
multitrayectoria o la pre
s
encia de va-tale
s
de los A
S
R más empleados, de forma que puedan ser identificadas
ria
s
tran
s
mi
s
ione
s
que no pueden
s
erla
s
posibles ventajas o desventajas —según la finalidad que se per-
separada
s
de la señal de interé
s
.
P
ara
s
iga— con el empleo de algunos de ellos. La base fundamental para
resolver el efecto adver
s
o de la
s
de
s
arrollarlo ha sido una síntesis del modelo matemático que los des-
ondas de interferencia, una variantecribe y se tomó como referencia la Matriz de Covarianza Espacial (MCE)
de
s
olución ha
s
ido la de
s
compo-para clasificarlos.
M
o
de
l
o
de
l
o
s
d
a
t
o
s
e
n
e
l
s
e
n
s
o
r
P
ara dar solución al campo de ondas multirrayo producto de la propa-
gaciónmultitrayectoriamediantelosA
S
R,lasfuentesdeben
encontrarse lo suficientemente lejanas para poder considerar sus frentes
de onda como un plano. Los algoritmos se basan en las diferencias de
fa
s
e entre sensores de un sistema de antenas, debido a los tiempos de
retardo dados por la propagación del frente de onda, que vienen con
determinado ADA —Ángulo de Arribo—, y de la posición geométrica
que ocupe cada sensor en el terreno, distribuidos según un sistema de
coordenadas, donde es tomado un sensor como referencia del sistema.
P
or lo tanto, en caso de que arriben N, n=1,...N frentes de onda a los
M, m=1,...M sensores del sistema, el campo inducido en el sensor m en
el in
s
tante t puede ser representado por:
N
å
m
(t)
=
a
(
a
)
mn
ƒ
n(t)
+w
m(t)
1
n=1
donde:
m
(t)
: vector que representa el campo inducido en el sensor
m
en el
in
s
tante
t
.
P
o
r
I
n
g
.
J
u
a
n
C
a
rl
o
s
G
a
r
c
í
a
D
o
m
í
n
g
u
e
z
,
P
r
o
f
e
s
o
r
A
u
x
ili
a
r
,
I
n
s
t
i
t
u
t
o
T
é
c
n
i
c
o
M
ili
t
a
r
J
o
s
é
M
a
r
t
í
s
a
r
a
y
b
@
i
n
e
l
.
un
e
.c
u
de Onda Multirrayo
C
Solución al
a m p o
Ton
o
Revist
a
Técnic
a
de l
a
E
mpres
a
de Telecomunic
a
ciones de Cub
a
S.A.
25
o también:
M
(t)
= AF
(t)
+ W
(t)
3
M
(
t
)
S
iendola repre
s
entación vectorial del campo de ondas en cada
sen
s
or en el in
s
tante de tiempo t, a este vector también se le conoce
como in
s
tante del
s
i
s
tema de antenas —array snapshot—. En las
expre
s
ione
s
2 y 3 la matriz de vectores de enfoque no depende de los
in
s
tante
s
del
s
i
s
tema,
s
ino de las coordenadas del sensor en el terreno y
de lo
s
ADA de cada frente de onda, con una dimensión de MxN.
A
S
R
c
o
m
o
s
o
l
u
c
i
ó
n
a
l
o
s
c
a
m
p
o
s
de
o
n
d
a
m
u
l
t
i
rr
a
y
o
s
En la práctica
s
ólo exi
s
te la posibilidad de acceso a la matriz M
(t)
.
Ba
s
ado en 2, alguno
s
de los A
S
R emplean la Matriz de Covarianza
E
s
pacial (MCE) de dimensión MxM para conformar su estimador y
determinar lo
s
ADA [2,6]. La MCE viene dada por:
T
å
H
T
R =
1
t=
1
M
(t)
M
(t)
4
Re
s
pue
s
ta Angular Adaptativa —Adaptative Angular Response (AAR)—.
donde:
T
: cantidad de in
s
tante
s
del sistema de antenas.
El
s
uperíndice
H
en el
s
egundo término de la sumatoria indica la
tran
s
pue
s
ta compleja conjugada.
A
S
R
q
u
e
e
m
p
l
e
a
n
d
i
r
e
c
t
a
m
e
n
t
e
l
a
M
C
E
E
s
to
s
algoritmo
s
explotan la propiedad de ortogonalidad que existe en-
tre lo
s
vectore
s
de enfoque y los vectores de ruido presentes en la MCE,
cue
s
tión e
s
ta mejor explicada en el punto siguiente. La cantidad máxima
de ADA
s
erá de M-1, además, al igual que la mayoría de los A
S
R,
pre
s
entan dificultade
s
para estimar los ADA de señales coherentes.
M
étodo de Máxima
P
robabilidad —Maximun
L
ikehood Methot (MLM)—.
P
=
1
(
a
MLM(
a
)
a
H
)
R
-1
a
(
a
)
5
Algoritmo de Ruido Térmico —
T
ermal Noise Algorithm (TNA)—.
P
TNA(
a
)
=
1
(
a
a
H
)
R
-2
a
(
a
)
6
P
AAR(
a)
=
H
a
(
a
)
R
-1
a
(
a
)
7
(
a
a
H
)
R
-2
a
(
a
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
(
a
)
mn
: vector de enfoque que representa la fase de la señal
n
en el
s
en
s
or
m
re
s
pecto a la fa
s
e de la señal en el sensor de referencia, este
último generalmente en la
s
coordenadas 0,0,0.
ƒ
n(t)
: vector de fuente
s
que representa la amplitud y fase del rayo
n
en
el
s
en
s
or de referencia en el instante
t
.
w
m(t)
: ruido pre
s
ente en el
s
ensor
m
en el instante
t
.
De la ecuación 1
s
e obtienen las matrices:
m
a
a
f
w
m
M
(t)
a
(
a
)M1
a
(
a
)MN
f
N(t)
w
M
(t)
.
.
.
1
=
.
(
a
)11
.
.
.
(a)
1N
.
.
.
.
.
1
+
.
1
2
.
.
26
Tono Revista Técnic
a
de l
a
Empres
a
de Telecomunic
a
ciones de Cub
a
S.A.
E
s
to
s
método
s
e
s
timan los ADA mediante la exploración espacial a
travé
s
del vector de enfoque, donde se encuentren los máximos de la
curva e
s
tarán lo
s
ADA. El A
S
R de la expresión 7 se destaca como el de
mayor re
s
olución dentro de los de este tipo [1,8,9].
E
s
to
s
método
s
tienen menor resolución que el resto, lo cual es su
de
s
ventaja fundamental.
S
in embargo, tienen varias ventajas, primero,
que pueden emplear
s
e en un sistema de antenas con cualquier tipo de
configuración —plana, lineal uniforme, lineal no uniforme—; y segundo,
no nece
s
itan de
s
componer la MCE en subespacios.
A
S
R
q
u
e
e
m
p
l
e
a
n
l
a
de
s
c
o
m
p
o
s
i
c
i
ó
n
de
l
a
M
C
E
E
s
to
s
método
s
con
s
ideran un espacio vectorial de dimensión M, con un
S
ube
s
pacio de
S
eñal (
S
E
S
) de dimensión N y un
S
ubespacio de Ruido
(
S
ER) de dimen
s
ión M-N.
P
ara hallar estos subespacios se realiza la
de
s
compo
s
ición de la MCE mediante el cálculo de los valores y vectores
propio
s
de la expre
s
ión 4 de manera que:
R
n
=
ln
8
donde:
v : vectore
s
propio
s
de R
l
: valore
s
propio
s
de R
Lo
s
valore
s
propio
s
s
on ordenados para que:
l
i
³ l
i
−
1
³
,...,
³l
1
9
Como a cada valor propio le corresponde un vector propio, estos
también
s
on ordenado
s
, entonces:
[v
i
,v
i-1
,...,v
1
]
10
En condicione
s
ideale
s
—sin presencia de ruido— la MCE sería de
rango N y, por lo tanto, M-N vectores propios corresponderían a valores
propio
s
igual a cero y serían ortogonales a todos los vectores de
enfoque de lo
s
N rayo
s
.
En condicione
s
reale
s
—con presencia de ruido— los valores propios
de menor valor, pertenecientes al
S
ER, no son cero; por lo tanto, es
nece
s
ario e
s
tablecer un umbral que permita separar a ambos sub-
e
s
pacio
s
a travé
s
del conocimiento de la cantidad de rayos que hay
pre
s
ente
s
.
P
ara el e
s
tablecimiento de dicho umbral existen varios criterios basa-
do
s
en una relación logarítmica entre la media geométrica y la media
aritmética expre
s
ada en la forma siguiente [2]:
De
s
cripción de mínima longitud:
Criterio de información de Akaike:
P(
n
)=
[
n
(
2
M-
n
)
]
13
P
(n)
=
1
l
og
(T)
[
n
(
2
M-
n
)
]
12
2
1
M-n
M
å
(M-
n
)
i=n+1
l
i
C
(n)
=Tl
og
M
+ P
(n)
11
P
i=n+1
l
i
Ton
o
Revist
a
Técnic
a
de l
a
E
mpres
a
de Telecomunic
a
ciones de Cub
a
S.A.
27
Hannan y Quinn:
Luego, la e
s
timación del número de rayos se realiza sobre la base de la
aproximación logarítmica de la expresión 11 y los criterios de 12, 13 y 14. La
n que minimiza la expre
s
ión 11, indicará el número de rayos presentes en el
e
s
cenario, teniendo en cuenta que, n = 0,1,...,M-1.
S
egún la literatura e
s
pecializada, el criterio más exacto es el de la
expre
s
ión 12 [1,4,7].
Alguno
s
de lo
s
A
S
R de e
s
te tipo son:
C
l
a
s
i
f
i
c
a
c
i
ó
n
de
M
ú
l
t
i
p
l
e
s
S
e
ñ
a
l
e
s
—
M
u
l
t
i
p
l
e
Si
g
n
a
l
C
l
a
ss
i
f
i
c
a
t
i
o
n
(
M
U
S
I
C
)
—
E
s
te A
S
R trabaja con el
S
ER, por lo tanto, mediante uno de los criterios
de la expre
s
ión 11
s
e toman los vectores propios que pertenecen a este
s
ube
s
pacio, y queda:
R
S
ER
=
[
n
N+1
,...,
n
M
]
Mx(M-N)
15
S
i
s
e tiene en cuenta la propiedad de que todos los vectores del
S
ER
s
on ortogonale
s
a lo
s
vectores de enfoque de los frentes de onda
(rayo
s
),
s
e con
s
truye el e
s
timador MU
S
IC, representados los ADA por
lo
s
máximo
s
de la curva producto de la exploración mediante el vector de
enfoque. La cantidad máxima de ADA que puede estimar es de M-1, pues
al meno
s
debe exi
s
tir un vector propio en el
S
ER [3,4,5].
1
16
PMUSIC(
a
) =
(
a
H
a
H
)
R
SER
R
S
ER
a
(
a
)
S
m
oo
t
h
-
M
U
S
I
C
Lo
s
método
s
anteriore
s
s
e encuentran limitados con la presencia de
s
eñale
s
coherente
s
, con e
s
te A
S
R se trata de superar esta dificultad. Los
M elemento
s
del
s
i
s
tema de sensores se subdividen en
L
subsistemas
s
olapado
s
, cada uno con P elementos.
P
or lo tanto:
L
= M-P+
117
S
e
s
igue con lo
s
pa
s
o
s
anteriores a partir de la expresión 11. Esta
formulación permite detectar hasta
L
-1 señales correlacionadas.
E
st
i
m
a
d
o
r
de
J
h
o
n
s
o
n
E
s
un mejoramiento del Método de Máxima
P
robabilidad donde se
elimina el
S
E
S
en el denominador de la expresión 5, lo que elimina la
de
s
ventaja del método de esa expresión.
S
e reporta como un A
S
R más
robu
s
to que MU
S
IC en cuanto a errores debidos a la calibración y con
una re
s
olución completamente similar. También está limitado por las
s
eñale
s
coherente
s
[7].
Al emplear lo
s
dato
s
de cada subsistema
L
, se realiza una matriz de
covarianza de dimen
s
ión PxP, luego la MCE R
L
.
L
-
1
L
1
å
l
R =R
18
L
l-
0
1
19
å
l
-1
(
a
a
H
)
n
i
2
JH
(
a
)
=
M
i=n+1
i
P
(n)
=
1
l
og
[
l
og
(T)
][
n
(
2
M-n)
]
14
2
28
Tono Revista Técnic
a
de l
a
Empres
a
de Telecomunic
a
ciones de Cub
a
S.A.
La expre
s
ión 19 e
s
muy similar a la 16, con la diferencia de que el
E
s
timador
J
hon
s
on po
s
ee en el
S
ER del denominador los valores propios
de e
s
te
s
ube
s
pacio.
P
ara encontrar un método que estimara los ADA sin necesidad de
realizar una exploración espacial a través del vector de enfoque, la
s
olución llevó a complicar el sistema de antenas al estar constituido este
por pare
s
de
s
en
s
ore
s
gemelos que forman un elemento del sistema, de
cada uno de lo
s
s
ub
s
i
s
temas X y
Y
, como se muestra en la figura 1, para
un
s
i
s
tema lineal uniforme y, en la figura 2, para un sistema de pares
idéntico
s
di
s
tribuido
s
s
obre el terreno.
T
o
t
a
l
de
M
í
n
i
m
o
s
C
u
a
d
r
a
d
o
s
-
E
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c
i
ó
n
de
l
o
s
P
a
r
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m
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s
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l
a
S
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l
c
o
n
e
l
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p
l
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T
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c
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c
a
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I
n
v
a
r
i
a
n
z
a
R
o
t
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c
i
o
n
a
l
—
T
o
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l
L
e
a
s
t
S
qu
a
r
e
s
-
E
s
t
i
m
a
t
i
o
n
o
f
Si
g
n
a
l
P
a
r
a
me
t
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r
s
u
s
i
n
g
R
o
t
a
t
i
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n
a
l
I
n
-
v
a
r
i
a
n
c
e
T
e
c
hn
i
qu
e
(
T
L
S
-
E
S
P
R
I
T
)
—
E
s
ta técnica
s
e ba
s
a en las diferencias de fase que existe en cada par de
s
en
s
ore
s
, que puede
s
er con invarianza simple como en las figuras 1 y 2
o con invarianza múltiple.
Debido a la configuración del sistema de sensores, el subsistema X se
mantiene como en la expresión 3; pero al subsistema
Y
se le agrega una
matriz diagonal, y el modelo queda:
X
(t)
= AF
(t)
+ W
x(t)
20
Y
(t)
= A
j
F
(t)
+W
y(t)
21
donde:
j
: matriz diagonal de dimensión MxM que contiene las diferencias de
fa
s
e entre lo
s
s
ub
s
i
s
temas X y
Y
. En ella están contenidos los vectores
de enfoque.
F
i
g
u
r
a
1
S
i
s
t
e
m
a
li
n
e
a
l
un
i
f
o
r
m
e
F
i
g
u
r
a
2
S
i
s
t
e
m
a
d
e
p
a
r
e
s
i
d
é
n
t
i
c
o
s
La in
s
tantánea del
s
i
s
tema está compuesta por:
Z
(t)
=
Y
(t)
22
E
s
te A
S
R trabaja con el
S
E
S
, por lo tanto, se halla la MCE al sustituir
lo
s
miembro
s
de la
s
umatoria de 4 por
Z
(t)
. Al aplicar la expresión 11, se
obtiene el
S
E
S
.
R
S
E
S
=
Con el objetivo de obtener los vectores de enfoque, se hace la descom-
po
s
ición de la expre
s
ión 23 en valores singulares.
R
SE
S
= USV
H
24
X
(t)
R
S
E
S
(x)
23
R
S
ES
(y)
(2M)xN
Ton
o
Revist
a
Técnic
a
de l
a
E
mpres
a
de Telecomunic
a
ciones de Cub
a
S.A.
29
S
e divide V en
s
ubmatrices de dimensión (MxM):
-
1
y
= -V
12
V
22
26
Cada valor propio de
y
representa la información de una señal. El estimador
de TL
S
-A
SP
RIT e
s
un e
s
timador directo, sin la exploración del espacio a
travé
s
del vector de enfoque, y queda como la siguiente expresión:
28
N
£
L
£
M-
L
;
pa
r
a
M
pa
r
29
N
£
L
£
M+
L
+
1
;
pa
r
a
M im
pa
r
30
X
1
y X
2
s
e corre
s
ponden con las expresiones 20 y 21, donde la matriz
diagonal
Y
e
s
la que debe estimarse. Esto implica que los valores
V=
l
T
L
S-ESPRIT
(
a
)
= c
o
s
-1
2
p
d
a
r
g
(
l
y
(i)
)
27
donde:
l
: longitud de onda.
E
s
te método tiene añadida una carga de mayor complejidad, debido a la
e
s
timación de
Y
ademá
s
de exigir una determinada geometría del sistema
de
s
en
s
ore
s
, pero evita la exploración del espacio a través del vector de
enfoque que, en dependencia de la resolución que se emplee, implica una
carga de cálculo
s
.
E
s
to
s
tipo
s
de algoritmo
s
son de los de mayor resolución, su desarrollo
e
s
excelente cuando
s
e conoce a priori la cantidad de rayos presentes,
de lo contrario hay que e
s
timarlos mediante uno de los criterios ya ex-
pue
s
to
s
.
S
u mayor de
s
ventaja radica en lograr una exactitud en la
e
s
timación de lo
s
s
ube
s
pacios.
P
ara el caso de dos fuentes el primer
valor propio de la ecuación 4 crece con la potencia de ambas fuentes;
pero el
s
egundo decrece en la medida que estén más próximas estas
fuente
s
,
s
i una e
s
má
s
débil que la otra se hace aún más difícil.
S
i al
efecto de cambio
s
en lo
s
valores propios se añaden problemas de
calibración o bajo número de
T
en 4, la determinación de los subespacios
e
s
ca
s
i impo
s
ible y de ello
s
depende la veracidad de los métodos.
A
S
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u
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m
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l
e
a
n
M
C
E
Lo
s
método
s
anteriore
s
dependen de la expresión 4. La estimación de
e
s
ta e
s
una carga de cálculos.
S
e asume que todas las instantáneas del
s
i
s
tema
s
iguen la mi
s
ma e
s
tadística, es decir, los datos son homogéneos,
en un medio en que la
s
pérdidas cambian rápidamente, estos modelos
pueden no
s
er valido
s
[7,8,9].
E
s
to motivó el de
s
arrollo de técnicas no estadísticas o dominio directo de
lo
s
dato
s
—di
r
ect data domain, D
3
— conocidas como
“
matriz pencil
”
.
E
s
importante de
s
tacar que este método tiene mucha similitud con E
S
-
P
RIT, pero
s
in la e
s
timación de la MCE.
Comienza con la definición de dos matrices X
1
y X
2
con dimensión
(N-
L
)x
L
,
s
iendo
L
el parámetro pencil.
12
mm
...
X
1
= m
2
m
3
...
m
M-L-1
m
M-L
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
m
L-1
m
L
m
M-1
.
.
.
m
L
m
L+1
m
M
.
.
.
23
mm
...
X
2
=m
3
m
4
...
.
.
m
.
M-L
m
M-L+1
...
.
.
.
.
.
.
V
V
1
2
1
1
V
V
1
2
22
(2M)x(2M)
25
30
Tono Revista Técnic
a
de l
a
Empres
a
de Telecomunic
a
ciones de Cub
a
S.A.
[X
1
,X
2
] son los
propio
s
generalizado
s
(
l
MP(i)
) del par de matrices
vectore
s
de enfoque.
P
or lo tanto, el estimador sería:
La cantidad máxima de ADA que este método puede determinar está
má
s
limitada que en lo
s
casos anteriores.
S
egún la cantidad de sensores
e
s
:
M
N
£
;
pa
r
a
e
l c
a
s
o
de
M
pa
r.
32
2
N
£
(M+
1
)
;
pa
r
a
e
l c
a
s
o
de
M im
pa
r.
33
2
En
s
entido general la calidad en la estimación de los ADA y de la
re
s
olución e
s
proporcional a la cantidad de sensores que se empleen
para conformar el
s
i
s
tema, esto es válido para todos los algoritmos, pero
en e
s
te método e
s
fundamental.
C
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39
-
57
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2
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)
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63
-
65.
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:
852
-
860.
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-
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Exi
s
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s
variante
s
no expuestas en el trabajo como el Root-MU
S
IC,
Cyclic-
M
U
S
IC, E
SP
RIT, Cyclic-E
SP
RIT, Unitary-E
SP
RIT, etc. De forma
general, toda
s
s
acrifican algo para obtener otra ventaja, por ejemplo, las
que trabajan con cualquier sistema de sensores, sin el problema de los
s
ube
s
pacio
s
, tienen menos resolución.
S
i se quiere aumentar la reso-
lución con cualquier tipo de sistema de sensores aparece el problema de
lo
s
s
ube
s
pacio
s
.
S
i
s
e elimina la carga de cálculos debido a la explo-
ración mediante el vector de enfoque, aparecen las exigencias para los
s
i
s
tema
s
de
s
en
s
ore
s
y continúan los subespacios.
S
i se elimina la carga
de cálculo por la exploración y por la MCE, son necesarios más sensores
para e
s
timar la mi
s
ma cantidad de ADA y continúan las exigencias al
s
i
s
tema de
s
en
s
ore
s
.
P
or este motivo es importante conocer las carac-
terí
s
tica
s
de lo
s
A
S
R, e
s
pecíficamente el modelo matemático, debido a
que e
s
la única forma de saber, a partir de las posibilidades con que se
cuenta y lo
s
objetivo
s
que se pretenden alcanzar, cuál sería el A
S
R más
propicio o qué
s
ería necesario variar para la implementación de alguno
de ello
s
.
l
MP
(
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= c
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s
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31
