T
o
n
o
Revist
a
Técnic
a
de l
a
E
mp
r
es
a
de Telecomunic
a
ciones de Cub
a
S.A.
73
I
n
t
r
o
d
u
cc
i
ó
n
E
n la actualida
d
el u
s
o de la
s
llamada
s
carga
s
no
s
inu
s
oi-
dales e
s
cada vez má
s
común en la in-
du
s
t
r
ia, edificio
s
comerciale
s
, ca
s
a
s
,
etc. La carga no
s
in
us
oidal e
s
aquella
cuya caracterí
s
tica
V
-I no e
s
una línea
r
ecta la cual corre
s
ponde a una carga
r
e
s
i
s
tiva, o bien, una elip
s
e que co-
r
r
e
s
p
o
nde a una car
g
a inductivare
s
i
s
-
tiva o capacitiva. E
s
te tipo de carga
s
s
on alimentada
s
con voltaje
s
ca
s
i
s
i-
nu
s
oidal, pero la corriente que ex-
t
r
aen e
s
no
s
inu
s
oidal y de ahí que la
ca
r
acterí
s
tica V-I
s
ea no lineal. Cuan-
do
s
e tienen carga
s
que con
s
umen
potencia reactiva —motore
s
, reactore
s
y tran
s
formadore
s
—, el factor de
potencia e
s
pobre y
s
e corrige con capa-
citada. E
s
ta condición
s
e manifie
s
ta
con el di
s
paro de lo
s
IT
Ms
—Inte-
r
r
uptore
s
Termo
M
agnético
s
— o la
lo
s
capacito
r
es. Al coloca
r
capacito
-
re
s
, el fact
or
de potencia que se co
rr
ige
e
s
de de
s
plazamiento, no el de disto
r-
s
ión; pero, en cambio, se log
r
a es baja
r
la frecuencia de
r
esonancia del sistema
a nivele
s
donde esta pueda se
r
excitada
por la
s
cargas no lineales que el sistema
alimenta.
A
l situa
r
capacito
r
es pa
r
a
corregir el
f
acto
r
de potencia, en
r
eali
-
dad,
s
e const
r
uye un ci
r
cuito que es
conocido como ci
r
cuito tanque, el cual
vi
s
to de
s
de la ca
r
ga —la combinación
no lineal e inductiva— nos
r
ep
r
esenta
la condición de
r
esonancia pa
r
alelo.
Cuando existe
r
esonancia pa
r
alelo se
pre
s
enta disto
r
sión elevada en los
voltaje
s
y sob
r
e co
rr
ientes en los ca
-
pacitore
s
, po
r
eso es que ope
r
an las
cito
r
e
s
. Cuando
s
e tiene una com-protecciones.
binación de carga
s
que toman corrienteEn la
s
s
ecciones siguientes se p
r
esenta
con
d
i
s
tor
s
ión y carga
s
que con
s
umenuna explicación simpli
f
icada del
f
enó
-
reactivo
s
de de
s
plazamiento, la co-meno de resonancia pa
r
alelo, un caso
r
r
ección del factor de potencia conindu
s
trial, un caso en una instalación
banco
s
de capacito
r
e
s
puede dar lu-comercial, la implementación y simu
-
ga
r
a una re
s
onancia paralelo ex-lación de un ci
r
cuito mono
f
ásico que
exhibe la e
x
citación de la
fr
ecuencia de
re
s
onancia y las
r
ecomendaciones pa
r
a
corregir facto
r
de potencia en p
r
esencia
apertura de lo
s
fu
s
ible
s
que protegen ade di
s
tor
s
i
ó
n.
E
x
p
li
c
a
c
i
ó
n
s
i
m
p
li
f
i
c
a
d
a
S
e dice que un ci
r
cuito que tenga
inductancia y capacitancia está en
r
esonancia cuando el voltaje y la co-
rr
iente están en
f
ase a una
fr
ecuencia
dada, es deci
r
, cuando la
r
eactancia
inductiva y la
r
eactancia capacitiva
se anulan. Estamos inte
r
esados en la
condición de
r
esonancia pa
r
alelo que
p
r
ovoca que la impedancia
q
ue ve
una co
rr
iente que se inyecta sea muy
elevada como lo ve
r
emos más ade-
lante. La
f
igu
r
a 1 muest
r
a un diagrama
uni
f
ila
r
muy simpli
f
icado de un
s
istema
de potencia típico que alimenta a una
ca
r
ga que consume co
rr
iente no lineal
en pa
r
alelo con un banco de capacito-
r
es pa
r
a co
rr
egi
r
el
f
acto
r
de potencia
F
i
g
u
r
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1
D
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g
r
ama
un
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f
il
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ma
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po
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a
no
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n
e
a
l
Armóni
c
as y
P
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g
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d
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l
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s
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y
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s
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s
,
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rr
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a
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m
01
.
m
t
y
.
i
t
e
s
m
.
m
x
,
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ama
s
@
a
c
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d
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m
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m
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y
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i
t
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s
m
.
m
x
R
e
s
o
nan
c
i
a
P
a
r
a
l
e
l
o
E
s
te texto apa
r
eció publicado o
r
iginalmente en el tomo 1 de las Memorias de la
D
écima
Reunión de Ve
r
ano de
P
otencia, celebrada por el Tecnológico de Monterrey. Está
di
s
ponible en: http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/ie/profesores/allamas/cursos/ueee/
armonica
s
/08Resonancia.
P
D
F
.
S
us auto
r
es, amablemente, cedieron sus derechos para su
publicación en nuest
r
a
r
evista.
74
To
n
o Revist
a
Técn
i
c
a
de
la
E
mpres
a
de Te
l
ecomunic
a
ciones de Cub
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S.
A
.
A pa
r
ti
r
de esta ecuación, se pod
r
á
ob
s
erva
r
que con
f
o
r
me se va
r
íe la
frecuencia
w
, va llega
r
un momento
en que el denominado
r
de dicha ecua
-
ción
s
e haga ce
r
o o casi ce
r
o, lo cual
trae como consecuencia un aumento
con
s
ide
r
able en la co
rr
iente que ci
r-
cula po
r
el capacito
r
. De esta
f
o
r
ma,
s
e ob
s
e
r
va que no se necesita esta
r
exactamente en la
fr
ecuencia de
r
e
-
s
onancia pa
r
a obtene
r
co
rr
ientes ele
-
vada
s
en el capacito
r
, sino que basta
con e
s
ta
r
un poco ce
r
ca. En un sis
-
tema de potencia
r
eal, la co
rr
iente no
s
e va
h
ace
r
in
f
inita o excesivamente
grande, po
r
que los conducto
r
es y las
uniones p
r
esentan una
r
esistencia in
-
herente la cual limita en cie
r
ta medida
la corriente. El ci
r
cuito simpli
f
icado
indica que si los valo
r
es de capa
-
citancia y de inductancia dan luga
r
a una
r
esonancia que coincida con
una de las a
r
mónicas p
r
esentes en
la carga no lineal, el voltaje en el
capacito
r
se ha
r
ía in
f
inito, obvia
-
mente esto no es posible. La ca
r
ga
no e
s
tá
f
o
r
mada po
r
f
uentes sino po
r
elementos pasivos.
S
i la impedancia del
s
i
s
tema de alimentación y el banco
de capacito
r
es bloquea la co
rr
iente
de cie
r
ta a
r
mónica, entonces el
valor de la
f
uente de co
rr
iente que
repre
s
enta a dicha a
r
mónica se ha
-
ría pequeño.
E
j
e
m
p
l
o
s
E
j
e
m
p
l
o
i
n
d
u
st
r
i
a
l
En una indust
r
ia con p
r
oblemas
con el
f
acto
r
de potencia, se decide
in
s
tala
r
bancos de capacito
r
es pa
r
a
mejora
r
lo. Dicha indust
r
ia tenía ca
r-
ga
s
no lineales. Cuando se instala
r
on
lo
s
bancos, po
r
r
ecomendaciones
del fa
br
icante se coloca
r
on p
r
otec
-
cione
s
al 200
%
pa
r
a evita
r
que estu
-
vieran ope
r
ando con
fr
ecuencia. El
ga
s
no lineale
s
s
e pueden repre
s
entar
como fuente
s
de corriene en paralelo,
cada una operando a di
s
tinta frecuencia.
La
s
uma de e
s
tas corriente
s
da como
re
s
ultado la corriente total que e
s
con-
s
umida por la carga no
s
inu
s
oidal.
En la figura 2
s
e ob
s
erva larepre
s
en-
P
ara obtene
r
la co
rr
iente del ca
-
p
r
oblema no quedó
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esuelto, el fac-
tación de e
s
te
s
i
s
tema de potencia en unpacito
r
se aplica la técnica de divi
-
to
r
de potencia seguía siendo bajo y
ci
r
cuito eléctrico equivalente. La
s
car-
s
ión de co
rr
iente y queda:no se sabía si al coloca
r
más capaci-
to
r
es se p
r
oduci
r
ía
r
esonancia. En
una visita que se hizo a la
p
lanta, se
toma
r
on va
r
ias muest
r
as de las for-
mas de onda de co
rr
iente y voltaje en
los capacito
r
es con y sin la carga.
Cuando no había ca
r
ga, el voltaje de
línea a tie
rr
a e
r
a de 270 V
r
ms y la co-
rr
iente demandada po
r
los capa-
cito
r
es e
r
a de 30 A
r
ms. La figura 5
muest
r
a las
f
o
r
mas de onda de corriente
y voltaje del banco de capacitores.
Obsé
r
vese que la co
rr
iente p
r
esenta al-
go de disto
r
sión lo cual es típico en
instalaciones indust
r
iales y comercia-
les debido a que los capacitores pre-
sentan una impedancia baja a las
co
rr
ientes de alta
fr
ecuencia que se
encuent
r
en en la
r
ed.
F
i
g
u
r
a
2
C
i
r
cu
i
t
o
e
l
é
c
t
r
i
co
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i
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t
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ma
d
e
po
t
e
nc
i
a
d
e
l
a
f
i
g
u
r
a
1
D
ado que e
s
te ci
r
cuito tiene fuente
s
de
c
o
rriente que operan a di
s
tinta
s
frecuen-
cia
s
, puede aplicar
s
e el teorema de
su
perpo
s
ición y re
s
olverlo para cada fre-
cuencia. A
s
í, para la frecuencia de 60 Hz,
que el circuito contiene una fuente de
voltaje, una fuente de corriente, la in-
ductancia y la capacitancia. La figura 3
mue
s
tra como quedan interconectado
s
esto
s
elemento
s
a la frecuencia de 60 Hz.
F
i
g
u
r
a
3
C
i
r
cu
i
t
o
e
l
é
c
t
r
i
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l
e
n
t
e
p
a
r
a
un
a
f
r
e
cu
e
nc
i
a
d
e
60
H
z
La figura 4 expone lo
s
elemento
s
a
frecuencia
s
di
s
tinta
s
de 60 Hz.
S
e tie-
ne ahora a la inductancia, la capaci-
tancia y la fuente de corriente de interé
s
,
t
o
do
s
en paralel
o
. E
s
te circuito pre-
s
enta una frecuencia de re
s
onancia la
cual viene dada por la
s
iguiente ex-
pre
s
ión:
1
f
o
=
F
i
g
u
r
a
4
C
i
r
cu
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g
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s
no
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n
e
a
l
e
s
e
s
t
á
n
a
f
u
e
r
a
s
En la
f
igu
r
a 6 se muest
r
an las for-
mas de onda de co
rr
iente y voltaje en
el capacito
r
una vez que la carga no
lineal demanda co
rr
iente no sinusoi-
dal. Bajo estas condicione
s
, el valor
e
f
ectivo de la co
rr
iente a
u
mentó de
30 a 34.5 A
r
ms, y el valo
r
d
el voltaje
cayó de 270 V
r
ms a 242
V
rms. El
aumento de co
rr
iente indica que se
está en p
r
esencia de una condición
de
r
esonancia. Al obtene
r
el espectro
de a
r
mónicas de esta co
rr
iente, había
r
esonancia al
r
ededo
r
de la armónica
16. Este mismo
r
esultado fue el que
se obtuvo al hace
r
un análisis en la
fr
ecuencia del ci
r
cuito eléctrico equi-
valente que
r
ep
r
esentaba a la planta
indust
r
ial. Dado que la co
r
riente que
demandaba la ca
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ga no lineal tenía
T
o
n
o
Revist
a
Técnic
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E
mp
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p
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c
o
m
e
r
c
i
a
l
La
f
igura 7, por ejemplo, mue
s
tra el
voltaje y la corriente en un filtro de
quinta armónica
s
intonizado apropia-
damente, por ejemplo, ala4.6.
F
i
g
u
r
a
8
V
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t
a
j
e
y
co
rr
i
e
n
t
e e
n
f
il
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o
ma
l
si
n
t
on
i
z
a
do
y la corriente de un
f
iltro de armóni-
ca
s
s
intonizado por a
r
riba de la quinta,
P
ara dete
r
mina
r
a qué
fr
ecuencia
de re
s
onancia se sintoniza
r
ía el ci
r-
cuito,
s
e empleó el p
r
oducto
P
spice
En la figura 8
s
e ob
s
erva el voltajey
s
e hicie
r
on va
r
ias simulaciones
con di
s
tintos valo
r
es de inducto
r
es
y capacito
r
es sintonizados a la 3
ra
,
5
ta
, 7
ma
, 9
na
, y 11
na
. De todas estas se
e
s
cogió la 11
na
a
r
mónica po
r
que
fue la prime
r
a en el espect
r
o que
elevó a más del doble el valo
r
efectivo de la co
rr
iente en el ca
-
pacitor respecto a la condición sin
carga. En a
r
mónicas más bajas, el
mi
s
mo
s
i
s
tema es capaz de amo
r-
tiguar la ampli
f
icación de las co
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ientes
por lo que a p
r
ime
r
a vista pa
r
ece que
el fenómeno de
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esonancia no se
y
la
c
o
rr
ien
t
e
que
c
i
rc
ula
e
s:
X
L
=
120
p
x
40
.
585
x
10
-
3
=
1
5.3
Ω
1
X
C
=
120
p
x
1
.
43
x
10
-
6
=
1854
.95
Ω
132
I==
71
.7 mA
12
+
j
(
15
.
3
-
1854
.
95
)
El segundo caso que se analiza es
cuando se tiene
S
2 abie
r
to y
S
1 ce-
rr
ado con el objeto de ve
r
cuál es la
co
rr
iente que consume la carga no
lineal.
P
a
r
a obtene
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este valo
r
se pro-
cedió a hace
r
una simulación y, de
esta mane
r
a, dete
r
mina
r
el valor
e
f
ectivo de la co
rr
iente. En la simu-
lación la co
rr
iente que es deman-
dada po
r
la ca
r
ga es de 830 mA rms y
en p
r
uebas hechas en labo
r
atorio,
F
i
g
u
r
a
9
C
i
r
cu
i
t
o
u
s
a
do
p
a
r
a
a
n
a
li
z
a
r
e
l
f
e
nó
m
e
no
d
e
r
e
s
on
a
nc
i
a
e
n
l
a
a
r
m
ón
i
-
c
a
no
.
11
co
r
riente en lo
s
capacitore
s
no e
s
com
ú
n y acorta la vida útil de lo
s
alimenta a una ca
r
ga no lineal conec
-
tada en pa
r
alelo con el capacito
r
. La
carga no lineal consiste en un puente
de rectificación con un capacito
r
co
-
nectado ent
r
e las te
r
minales de CD
del puente pa
r
a log
r
a
r
mantene
r
un
voltaje recti
f
icado casi constante el
cual alimenta a un
f
oco de 200 W. Esta
carga
s
i e
s
conectada a la línea di
r
ec
-
tamente, consume co
rr
iente en la
f
o
r-
ma como lo hacen las computado
r
as,
televi
s
ore
s
y videog
r
abado
r
as.
F
i
g
u
r
a
6
V
o
l
t
a
j
e
y
co
rr
i
e
n
t
e e
n
e
l
b
a
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s
no
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l
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s
e
s
t
á
n
d
e
n
t
r
o
ba
s
tante contenido de armónica
s
, era5.5. La corriente aumentó de 50 a 130 A,p
r
esenta.
P
a
r
a tene
r
un punto de
obvio que
s
e e
s
taba excitando la fre-y el voltaje p
r
esenta una alto conte
-r
e
f
e
r
encia y ve
r
cuánto se eleva la
cuencia de re
s
onancia del
s
i
s
tema.
S
enido de quinta a
r
mónica.
S
in em
-
co
rr
iente en el ci
r
cuito implemen-
ob
s
erva como al entrar en re
s
onancia,bargo, en esta
f
igu
r
a puede ap
r
ecia
r
setado
r
especto a ese punto, se calcula
el voltaje del capacitor deja de
s
er
s
i-que no ha
y
sob
r
evoltaje po
r
que elp
r
ime
r
o cuanto vale la co
rr
ie
n
te en
nu
s
oidal y toma la forma como de unapico
s
e mantiene en los 200 volts yestado estable cuando
S
1 está abierto
onda triangular. La corriente tiene unel valor rms medido no cambió signi
-
y
S
2 ce
rr
ado. La
f
uente de voltaje es
alto contenido de armónica 16, e
s
taficativamente.de 132 V
r
ms, 60 Hz, la c
u
al se
asume que es ideal, es decir, sin
disto
r
sión a
r
mónica. Bajo estas
mi
s
mo
s
.La figura 9 muest
r
a el ci
r
cuito usadocondiciones, los valo
r
es
d
e las
para ob
s
erva
r
el
f
enómeno de
r
eso
-r
eactancias inductiva y capacitiva
nancia. E
s
te es un ci
r
cuito RLC queson:
F
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si
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on
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z
a
do
En p
r
uebas hechas en laborato-
r
io, la co
rr
iente medida
f
ue de 76 m
A
.
Esta pequeña di
f
e
r
encia se debe prin-
cipalmente a que la
f
uente de voltaje
en el labo
r
ato
r
io no es ideal, debi-
do a que p
r
esenta algo de distor-
sión a
r
mónica. La
f
igu
r
a 10 muestra
el voltaje y la co
rr
iente medidos en el
capacito
r
y en los cuales se ap
r
ecia la
disto
r
sión, sob
r
e todo en la co
rr
iente.
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ecomunic
a
ciones de Cub
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S.
A
.
r
e
s
ultó
s
er de 847 mA rm
s
. En la
s
f
igura 11 y 12
s
e recogen la
s
forma
s
de onda de corriente y voltaje me-
dida
s
y
s
imulada
s
.
P
ara comp
r
oba
r
que
r
ealmente se tiene
r
esonancia en la a
r
mónica 11, se
obtuvo el espect
r
o de
F
ou
r
ie
r
de las
f
o
r
mas de onda de las
f
igu
r
as 13 y 14
el cual se exp
r
esa en la
f
igu
r
a 15. En esta
f
igu
r
a puede ve
r
se que efec-
tivamente la a
r
mónica que está en mayo
r
po
r
centaje p
r
esente es la once.
S
in emba
r
go, se obse
r
va que también hay a
r
mónicas de otras fre-
cuencias como la 3
ra
, 5
ta
, etc., y la
r
azón de su p
r
esencia es que como son
dema
n
dadas po
r
la ca
r
ga, encuent
r
an un camino de más baja impedancia
a través del capacito
r
que del inducto
r
con
f
o
r
me la
fr
ecuencia aumenta.
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c
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p
a
c
i
t
o
r
La figu
r
a 14 indica el voltaje medido y simulado del capacitor. En esta
prueba se pudo comp
r
oba
r
que el voltaje del capacito
r
no p
r
esentó un
aume
n
to conside
r
able po
r
que su valo
r
con y sin ca
r
ga se mantuvo alre-
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na vez conocida
s
la
s
do
s
condi-
cione
s
de operación por
s
eparado del
circuito, debe ob
s
ervar
s
e cómo
s
e com-
p
o
rta cuando
S
1 y
S
2 e
s
tán cerrado
s
.
Para e
s
te ca
s
o, la corriente del capacitor
aumentó de 76 m
A
rm
s
a 196 mA rm
s
,
q
u
e equivale a poco má
s
de 2,5 vece
s
.
La figura 13 repre
s
enta la forma de
o
n
da de la corriente medida y
s
imulada
del capacitor. Ob
s
érve
s
e que ya la
corriente no e
s
s
inu
s
oidal y pre
s
enta
ba
s
tante di
s
tor
s
ión. De igual forma, el
voltaje del capacitor, que e
s
el que
s
e
aplica a la carga, pre
s
entó un incre-
mento en la di
s
to
rs
ión por el hecho de
tener re
s
onancia.
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e
s
Cuando en una in
s
talación eléct
r
ica se tiene un bajo
f
acto
r
de potencia
en pre
s
encia de carga
s
no lineales,
r
esulta siemp
r
e muy a
rr
iesgado t
r
ata
r
de corregirlo
s
in ante
s
hace
r
un análisis del sistema de potencia en
cue
s
tión. Cuando
s
e hizo la implementación mono
f
ásica, la
r
esonancia
s
e obtuvo aju
s
tando el valor de inductancia. En un sistema de potencia
real el valor de la inductancia no se puede modi
f
ica
r
, es
f
ijo, pe
r
o en
cambio el que
s
í puede cambia
r
se es de la capacitancia al i
r
ag
r
egando
kVAr’
s
al
s
i
s
tema, y el re
s
ultado
f
inal es el mismo. Como la
fr
ecuencia de
re
s
onancia e
s
inver
s
amente p
r
opo
r
cional a la capacitancia, añadi
r
kVAr’
s
s
ignifica bajar e
s
ta
fr
ecuencia a niveles donde esta puede se
r
excitada por la
s
carga
s
no lineales que existan en el sistema, si es que
exi
s
ten.
S
i nue
s
tro
s
i
s
tema tuvie
r
a ca
r
gas lineales, no hab
r
ía tanto
problema, pero hoy
s
on cada vez más nume
r
osas las ca
r
gas no lineales
en in
s
talacione
s
eléctrica
s
po
r
lo que
r
esulta
f
actible excita
r
la
fr
e
-
cuencia de re
s
onancia del
s
i
s
tema al ag
r
ega
r
capacito
r
es. Ante este tipo
de
s
ituación lo má
s
recomendable es hace
r
un estudio del sistema, ya sea
mediante
s
imulacione
s
, o bien, mediciones en el campo.
R
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409.
